Отрезки, соединяющие вершины тетраэ

Отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с точками пересечения медиан противоположных граней, пересекаются в одной точке – центроиде тетраэдра и делятся в этой точке в отношении 3 : 1, считая от вершины.
Доказательство. Пусть ABCD – тетраэдр, O – точка пересечения медиан треугольника ABC, P – точка пересечения медиан треугольника BCD, R – точка пересечения отрезков DO и AP (рис. 3).

Рассмотрим треугольник AQD. Точки O и P делят соответствующие стороны в отношении 2 : 1. Покажем, что точка R делит DO и AP в отношении 3 : 1. В треугольнике APQ проведем OS параллельно AP. Она разделит отрезок PQ в отношении 2 : 1. Если отрезок SQ принять за единицу, то отрезок DP будет равен 6. Отрезки DR и RQ относятся также как DP и PS, т.е. DR : RQ = 6 : 2 = 3 : 1. Аналогичным образом доказывается, что точка R делит отрезок AP в отношении 3 : 1. Отрезки, соединяющие вершины B и C с точками пересечения медиан противоположных граней также будут делить отрезок DO в отношении 3 : 1 и, следовательно, будут проходить через точку O. Что и требовалось доказать.

Результаты (украинский) 1:

Лінії, що з'єднує вершини тетраедр з точках перетину medians протилежних облич, які перетинаються в одній точці є Центроїд з тетраедр і розділити на даний момент, що стосується 3:1, рахуючи від вершини. Доказ. Нехай ABCD-тетраедр, O-перетині medians трикутник ABC, P знаходиться на перетині з medians трикутник BCD, R є точка перетину лінії РОБИТИ і AP (рис. 3).Розглянемо трикутника на AQD. O точки і P ділить по відношенню до 2:1 зацікавлених сторін. Показати, що точка R ділить та АП проти 3:1. Трикутник з APQ проведе паралельних OS AP. It буде розділити відрізок PQ по відношенню до 2:1. Якщо вирізати SQ одиниці, потім розрізається на DP буде дорівнює 6. Розділи також включають RQ д-р і як DP і PS, тобто д-р: RQ = 6:2 = 3:1. Крім того, доведено, що точка R ділить AP вирізати проти 3:1. Ліній, які з'єднують вершин B та C з точках перетину medians протилежних обличчя також поділяться РОБИТИ розріз проти 3:1 і, таким чином, будуть проходити через точку о. треба було Довести.