7.6 Главные кривизны и формула Эйле

7.6 Главные кривизны и формула Эйлера.
Главные направления. Фиксируем точку A на поверхности M и обратимся к касательной плоскости τ A в этой точке. В этом линейном двумерном пространстве задан базис ru, rv и даны две квадратичные формы. Одна из них имеет положительно определенную симметричную матрицу G и задает метрику в τ A – скалярное произведение векторов по формуле (в указанном базисе). Другая форма имеет симметричную матрицу B (не обязательно невырожденную) и записывается в этом же базисе в виде

Эта ситуация известна из курса высшей алгебры. Основная теорема тут утверждает, что возможно сделать (линейную) замену переменных в τ A, которая обе матрицы приведет к диагональному виду. При этом матрица G перейдет в единичную, что означает, что новый базис является ортонормированным. Обозначим новый базис m1, m2, а координаты вектора u в этом базисе u¯ 1 , u¯ 2 . Таким образом квадрат нормы вектора u примет “пифагоров” вид (¯u 1 )^2+(¯u 2 ) ^2 , а скалярное произведение – u¯ 1v¯ 1+ ¯u 2v¯2 .
Вторая квадратичная форма будет в этом базисе иметь вид II(u) = a(¯u 1 ) + b(¯u 2 ) 2 . Наша задача: установить смысл коэффициентов a и b.
Обратим внимание, что замена переменных была произведена в векторном касательном пространстве, она не индуцирована сменой карты в окрестности точки A. Это можно сделать, но такая замена приведет формы к диагональному виду только в точке A. Поэтому нам нет смысла обращаться к замене карты, мы действуем прямо в касательной плоскости.
Упражнение. Постройте замену локальных координат в окрестности точки A, которая индуцирует в τ A заданное линейное преобразование L (т.е. дифференциал замены в точке A есть L).
Напомним, что базисные векторы m1, m2 новой координатной системы в τ A являются собственными векторами матрицы B, а числа a и b – соответствующими собственными значениями.
Определение. Направления векторов m1, m2 называются главными направлениями в касательной плоскости τ A.
Рассмотрим теперь произвольное направление в τ A, определяемое единичным вектором m. Поскольку система координат сейчас ортонормированная, координаты этого вектора равны cosϕ, sin ϕ, где ϕ угол между m1 и m. По основной формуле kn = II(m) I(m) мы получаем: kn = a cos2 ϕ + b sin2 ϕ.
Здесь kn кривизна нормального сечения в направлении вектора m. Так как этот вектор единичный, знаменатель в правой части основной формулы равен 1. Рассмотрим нормальные сечения в двух главных направлениях (с координатами (1,0) и (0,1)). Мы получим: k1 = a и k2 = b, где через k1 и k2 обозначены нормальные кривизны в этих направлениях.
Подставляя эти значения в предыдущую формулу, мы получим выражение нормальной кривизны произвольного направления через нормальные кривизны двух главных направлений: kn = k1 cos2 ϕ + k2 sin2 ϕ.
Эта формула называется формулой Эйлера. Нормальные кривизны главных направлений называются главными кривизнами.
Будем поворачивать нормальную плоскость вокруг нормали к поверхности в точке A. Кривизна нормального сечения будет циклически меняться.
Утверждение. Кривизна нормального сечения монотонно возрастает от меньшей главной кривизны к большей и затем обратно два раза за полный оборот.
Доказательство. Перепишем нашу формулу: kn = k1 cos2 ϕ + k2 sin2 ϕ = k1 cos2 ϕ + k2 − k2 cos2 ϕ = (k1 − k2) cos2 ϕ + k2.
Поскольку cos^2 ϕ меняется от 0 до 1, то если k1 > k2, максимальным значением нормальной кри- визны является k1, а k2 минимальное значение, и наоборот, если k2 > k1. Таким образом, главные кривизны служат экстремальными значениями нормальной кривизны. (Главные направления, очевидно являются главными осями индикатрисы) Классификация точек поверхности. По соотношению между главными кривизнами мы получаем следующие типы точек:
1. Если k1 = k2, точка поверхности называется сферической (или омбилической); в этом случае все нормальные кривизны равны между собой.
2. Если обе главные кривизны отличны от нуля и одного знака, точка называется эллиптической; в этом случае поверхность выпукла в точке, т.е. малая окрестность точки лежит по одну сторону от касательной плоскости.
3. Если обе главные кривизны отличны от нуля и имеют противоположные знаки, то точка называется гиперболической; в этом случае при вращении нормальной плоскости вокруг нормали сечение в окрестности точки переходит с одной стороны касательной плоскости на другую. Можно доказать, что пересечение поверхности и касательной плоскости сотоит из двух гладких дуг, пересекающихся под ненулевым углом.
4. Если одна из главных кривизн равна нулю, а другая отлична от нуля, то точка называется параболической; в этом случае одна из главных кривизн равна нулю. Если другая отлична от нуля, то из формулы Эйлера следует, что нормальные кривизны всех направлений, кроме второго главного отличны от нуля и имеют один и тот же знак. Но нормальное сечение с нулевой кривизной может иметь в точке сложное поведение.
5. Если обе главные кривизны равны нулю, точка называется точкой уплощения. В этом случае вторая квадратичная форма равна нулю, а отклонение поверхности от касательной плоскости имеет третий порядок малости. Возможно сложное поведение поверхности вблизи этой точки.
8.1 Значение полной кривизны. Локальный анализ формы поверхности Полная кривизна и теорема Гаусса. Основная теорема теории поверхностей, теорема Гаусса, которую мы докажем в следующей главе, состоит в том, что полная кривизна имеет выражение через первую квадратичную форму, т.е. через ее коэффициенты и их производные. Из приведенного выше выражения видно, что для этого нам предстоит выразить через коэффициенты E, F, G первой формы определитель второй формы. На самом деле теорему Гаусса можно доказывать, идя разными

Результаты (украинский) 1:

4.7 основні кривизни та формула Ейлера.Основні напрямки. Виправити точки на поверхні М і звернутися до тангенс площині τ (A) в цій точці. Цій основі лінійних простору двовимірної вказаного ru, rv і дано два квадратичних форм. Одна з них має певні позитивні Симетрична матриця G а заходить метрична τ A-скаляр добуток векторів за формулою (у вказаному базової лінії). Іншою формою є Симетрична матриця B (не обов'язково nevyroždennuû) і написана на тих же засадах Ця ситуація також відома в ході вищої алгебри. Основна теорема тут стверджує, що це можна зробити (Лінійний) замінити змінні в τ, що обидва призведе до діагональної подання. При матрицю G піде в єдину, це значить що новій основі ortonormirovannym. Нехай нових базових m1, m2 і координати вектор u в цій основі u ¯ ¯ u 1 2. Таким чином площі норми вектора, вам буде "pifagorov" (¯ u 1) ^ 2 + (¯ u 2) ^ 2 і Скалярний добуток u ¯ ¯ 1 + 1v ¯ u 2v ¯ 2. Друга фундаментальна форма є цій основі мають тип II (u) = (¯ унікальний сітці 1) + b (¯ u 2) 2. Нашим завданням: встановити значення коефіцієнти і b. Зверніть увагу, що змінні заміщення було зроблено у векторному Дотичний простір, це не не inducirovana зміни карти по сусідству пункту (A). це можна зробити, але ця зміна призведе до діагоналі тільки на точці а. тому, що не має сенсу для нас відвернутися замінити картку, ми будемо діяти безпосередньо у площині дотичній. Вправа. Побудувати заміна локальних координатах по сусідству точки A, який викликає у τ даного лінійне перетворення L (тобто диференціальної заміна в точці A є L). Слід нагадала, що основою вектори m1, m2, нова система координат у τ (A) є рідною матриця вектори B і за b, а відповідні власних значень. Визначення. Напрямків векторів m1, m2 називаються за основними напрямами в площину дотичній на τ. Розглянемо тепер довільним напрямком в τ, визначається за одиницю вектор м. тому, що система координат тепер ortonormirovannaâ, координати вектора рівних cosϕ, гріх, де ϕ ϕ кут між m1 і. м. на основні формула кН = II (m) (I) (m) ми отримуємо: кН = b sin2 + cos2 ϕ ϕ. Тут на нормальний кривизни розділ кН напрямок векторного м. як векторні ціле, знаменник правій частині основна формула дорівнює 1. Розглянемо звичайний розділ на дві основні області (з координатами (1,0) і (0,1)). Ми отримуємо: К1 і К2 = до = b, де К1 і К2 позначаються нормальний викривлення в цих напрямках. Підставивши ці значення в попередній рівняння, ми отримаємо вираз нормальний кривизни довільним напрямком через звичайний кривизни з двома основними напрямками: кН = k1 k2 sin2 + cos2 ϕ ϕ.Ця формула називається формула Ейлера. Нормальний кривизни основні напрями називають основним kriviznami. Стане нормальним площині навколо поверхні нормальний в точці. нормальний кривизни розділу зміниться циклічно. Затвердження. Викривлення нормальні розділ монотонно збільшують з меншою до більшої кривизни основні а потім назад у двічі за повний обертання. Доказ. Ми можемо переписати нашої формулою: кН = k1 k2 sin2 + cos2 ϕ ϕ = k1 + k2 ϕ cos2 − k2 cos2 ϕ = (k1 − k2) ϕ cos2 + k2.Починаючи з cos ^ 2 ϕ змінюється від 0 до 1, якщо k2 > К1, максимальне значення нормального є vizny користувач KRI К1 і К2 мінімальне значення і навпаки, якщо k2 > k1. Таким чином, основні кривизни служити крайнощів нормальний кривини. (Основні напрями реалізації основних осей, очевидно, indikatrisy) класифікація поверхні точок. Співвідношення між основним kriviznami ми отримуємо такі типи точок: 1. Якщо k1 = k2, dot поверхні називається за сферичні (або ombiličeskoj); у цьому випадку, нормальний кривизни всі рівні. 2. Якщо обидва головних кривизни, нуль або один символ, називається еліптичних точки; у цьому випадку поверхні в точці vypukla, тобто, невеликий околі точки лежить з одного боку площини дотичній. 3. Якщо основні кривизну різні з нуля, навпроти ознаки, то точки називають гіперболічний; При цьому площині нормальний обертання навколо нормальний поперечний переріз по сусідству точки зміщується з однієї сторони тангенс площини до іншої. Це може бути показано, що перетину поверхні і тангенс площину sotoit дві дуги гладкою, перетинаються під кутом ненульовим. 4. Якщо один з основних кривизни дорівнює нулю, а інший відрізняється від нуля, точка називається параболічного; у цьому випадку, одна з головних кривизни дорівнює нулю. Якщо інший відрізняється від нуля, з формулою Ейлера припускає, що нормальні кривизну всі напрямки, за винятком другого основними відмінними від нуля і мають такий самий знак. Але нормальних перерізу з нульовою кривизни можна в момент складний поведінки. 5. Якщо обидва з основними кривизни дорівнює нулю, точка називається точки зведення. При цьому друга фундаментальна форма дорівнює нулю, а відхилення поверхні з дотичної літак є третього порядку з невеликий простір. Можливо комплекс поведінку поверхні поблизу цієї точки.8.1 повний значення кривизни. Місцеві форма поверхні аналіз загальної кривизни і Теорема Гауса. Основна теорема теорії поверхонь, Теорема Гауса, який ми доведемо в наступному розділі, є те, загальна кривизни вираз через перший квадратичної форми, тобто через його коефіцієнти та їх похідних. Від вище вираз можна побачити, що ми повинні виражати через коефіцієнти E, F, G перша форма визначник другу форму. Теорема Гауса дійсно може довести, що збирається різних

Результаты (украинский) 2:

7.6 Головні кривизни і формула Ейлера.
Головні напрямки. Фіксуємо точку A на поверхні M і звернемося до дотичної площини τ A в цій точці. У цьому лінійному двовимірному просторі заданий базис ru, rv і дано дві квадратичні форми. Одна з них має позитивно певну симетричну матрицю G і задає метрику в τ A - скалярний добуток векторів за формулою (у зазначеному базисі). Інша форма має симетричну матрицю B (не обов'язково невироджених) і записується в цьому ж базисі у вигляді Ця ситуація відома з курсу вищої алгебри. Основна теорема тут стверджує, що можливо зробити (лінійну) заміну змінних в τ A, яка обидві матриці призведе до діагонального вигляду. При цьому матриця G перейде в одиничну, що означає, що новий базис є ортонормованим. Позначимо новий базис m1, m2, а координати вектора u в цьому базисі u¯ 1, u¯ 2. Таким чином квадрат норми вектора u прийме "пифагоров" вигляд (¯u 1) ^ 2 + (¯u 2) ^ 2, а скалярний добуток - u¯ 1v¯ 1+ ¯u 2v¯2. Друга квадратична форма буде в цьому базисі мати вигляд II (u) = a (¯u 1) + b (¯u 2) 2. Наше завдання: встановити сенс коефіцієнтів a і b. Звернемо увагу, що заміна змінних була проведена у векторному дотичному просторі, вона не індукована зміною карти в околиці точки A. Це можна зробити, але така заміна призведе форми до діагонального вигляду тільки в точці A. Тому нам немає сенсу звертатися до заміни карти, ми діємо прямо в дотичній площині. Вправа. Побудуйте заміну локальних координат в околиці точки A, яка індукує в τ A задане лінійне перетворення L (тобто диференціал заміни в точці A є L). Нагадаємо, що базисні вектори m1, m2 нової координатної системи в τ A є власними векторами матриці B, а числа a і b - відповідними власними значеннями. Визначення. Напрями векторів m1, m2 називаються головними напрямками в дотичній площині τ A. Розглянемо тепер довільний напрямок в τ A, яке визначається одиничним вектором m. Оскільки система координат зараз ортонормированном, координати цього вектора дорівнюють cosφ, sin φ, де φ кут між m1 і m. За основною формулою kn = II (m) I (m) ми отримуємо: kn = a cos2 φ + b sin2 φ. Тут kn кривизна нормального перетину в напрямку вектора m. Так як цей вектор одиничний, знаменник у правій частині основної формули дорівнює 1. Розглянемо нормальні перерізу в двох головних напрямках (з координатами (1,0) і (0,1)). Ми отримаємо: k1 = a і k2 = b, де через k1 і k2 позначені нормальні кривизни в цих напрямках. Підставляючи ці значення в попередню формулу, ми отримаємо вираз нормальної кривизни довільного напрямку через нормальні кривизни двох головних напрямків: kn = k1 cos2 φ + k2 sin2 φ. Ця формула називається формулою Ейлера. Нормальні кривизни головних напрямків називаються головними кривизнами. Будемо повертати нормальну площину навколо нормалі до поверхні в точці A. Кривизна нормального перетину буде циклічно змінюватися. Затвердження. Кривизна нормального перетину монотонно зростає від меншої головною кривизни до більшої і потім назад два рази за повний оборот. Доказ. Перепишемо нашу формулу: kn = k1 cos2 φ + k2 sin2 φ = k1 cos2 φ + k2 - k2 cos2 φ = (k1 - k2) cos2 φ + k2. Оскільки cos ^ 2 φ змінюється від 0 до 1, то якщо k1> k2 , максимальним значенням нормальної кри- Візна є k1, а k2 мінімальне значення, і навпаки, якщо k2> k1. Таким чином, головні кривизни служать екстремальними значеннями нормальної кривизни. (Головні напрямки, очевидно є головними осями індикатриси) Класифікація точок поверхні. За співвідношенням між головними кривизнами ми отримуємо наступні типи точок: 1. Якщо k1 = k2, точка поверхні називається сферичною (або омбіліческой); в цьому випадку всі нормальні кривизни рівні між собою. 2. Якщо обидві головні кривизни відмінні від нуля й одного знака, точка називається еліптичної; в цьому випадку поверхня опукла в точці, тобто мала околиця точки лежить по одну сторону від дотичної площини. 3. Якщо обидві головні кривизни відмінні від нуля і мають протилежні знаки, то точка називається гіперболічної; в цьому випадку при обертанні нормальної площині навколо нормалі перетин в околиці точки переходить з одного боку дотичної площини на іншу. Можна довести, що перетин поверхні і дотичної площини Сото з ​​двох гладких дуг, що перетинаються під ненульовим кутом. 4. Якщо одна з головних кривизн дорівнює нулю, а інша відмінна від нуля, то точка називається параболічної; в цьому випадку одна з головних кривизн дорівнює нулю. Якщо інша відмінна від нуля, то з формули Ейлера випливає, що нормальні кривизни всіх напрямків, крім другого головного відмінні від нуля і мають один і той же знак. Але нормальний переріз з нульовою кривизною може мати в точці складну поведінку. 5. Якщо обидві головні кривизни дорівнюють нулю, точка називається точкою уплощения. У цьому випадку друга квадратична форма дорівнює нулю, а відхилення поверхні від дотичної площини має третій порядок малості. Можливо складну поведінку поверхні поблизу цієї точки. 8.1 Значення повної кривизни. Локальний аналіз форми поверхні Повна кривизна і теорема Гаусса. Основна теорема теорії поверхонь, теорема Гаусса, яку ми доведемо в наступному розділі, полягає в тому, що повна кривизна має вираз через першу квадратичну форму, тобто через її коефіцієнти та їх похідні. З наведеного вище виразу видно, що для цього нам належить виразити через коефіцієнти E, F, G першої форми визначник другої форми. Насправді теорему Гаусса можна доводити, йдучи різними

Результаты (украинский) 3:

Головна 7.6 кривизну формули і Eulerian моделі.
основні напрями. Закріплення в точці на поверхні м і перейде до Дотична площина з горбок на даний момент. У разі лінійних двомірна простору в основі ru,Rv і дав два квадратичні форми. Одна з них - це позитивно симетрії матриця г і встановлює метричних в наштовхує на крапки продукт векторів на формулу (з метою титри).Інша форма є симетричне матриця B (не обов'язково переродитися) і зареєстровано в основі у вигляді

цю ситуацію, як відомо з курсу вищої алгебри. Основні теореми тут претензій,Що можна зробити (лінійний) заміна перемінних у кого наїжджають на, що обидва матриці призведе до semicircumference. Матриця г входить до HOP (Hybrid Pearl Olefin), що означає, що новий принцип банахових просторах.Папір нову базу м1, М2, а координати вектора u віднімання u порівняно з 20% 1 , Проект u порівняно з 20% 2 . Таким чином, на площі норм вектор u зайняти 'пифагоров" перегляд ( Міжн ¡· u 1 )
2 ( Міжн ¡· u 2 ) кратність 2 , а точка продукт - u порівняно з 20% 1v порівняно з 20% 1 ¯u 2v Міжн ¡· 2 .
Другий квадратичної форми буде в цьому віднімання, типу II(u) =( Міжн ¡· u 1 ) b( Міжн ¡· u 2 ) 2 . Наше завдання - встановити значення коефіцієнтів a і b. Кратність звернути увагу,