7.6 Главные кривизны и формула Эйле

7.6 Главные кривизны и формула Эйлера.
Главные направления. Фиксируем точку A на поверхности M и обратимся к касательной плоскости τ A в этой точке. В этом линейном двумерном пространстве задан базис ru, rv и даны две квадратичные формы. Одна из них имеет положительно определенную симметричную матрицу G и задает метрику в τ A – скалярное произведение векторов по формуле (в указанном базисе). Другая форма имеет симметричную матрицу B (не обязательно невырожденную) и записывается в этом же базисе в виде

Эта ситуация известна из курса высшей алгебры. Основная теорема тут утверждает, что возможно сделать (линейную) замену переменных в τ A, которая обе матрицы приведет к диагональному виду. При этом матрица G перейдет в единичную, что означает, что новый базис является ортонормированным. Обозначим новый базис m1, m2, а координаты вектора u в этом базисе u¯ 1 , u¯ 2 . Таким образом квадрат нормы вектора u примет “пифагоров” вид (¯u 1 )^2+(¯u 2 ) ^2 , а скалярное произведение – u¯ 1v¯ 1+ ¯u 2v¯2 .
Вторая квадратичная форма будет в этом базисе иметь вид II(u) = a(¯u 1 ) + b(¯u 2 ) 2 . Наша задача: установить смысл коэффициентов a и b.
Обратим внимание, что замена переменных была произведена в векторном касательном пространстве, она не индуцирована сменой карты в окрестности точки A. Это можно сделать, но такая замена приведет формы к диагональному виду только в точке A. Поэтому нам нет смысла обращаться к замене карты, мы действуем прямо в касательной плоскости.
Упражнение. Постройте замену локальных координат в окрестности точки A, которая индуцирует в τ A заданное линейное преобразование L (т.е. дифференциал замены в точке A есть L).
Напомним, что базисные векторы m1, m2 новой координатной системы в τ A являются собственными векторами матрицы B, а числа a и b – соответствующими собственными значениями.
Определение. Направления векторов m1, m2 называются главными направлениями в касательной плоскости τ A.
Рассмотрим теперь произвольное направление в τ A, определяемое единичным вектором m. Поскольку система координат сейчас ортонормированная, координаты этого вектора равны cosϕ, sin ϕ, где ϕ угол между m1 и m. По основной формуле kn = II(m) I(m) мы получаем: kn = a cos2 ϕ + b sin2 ϕ.
Здесь kn кривизна нормального сечения в направлении вектора m. Так как этот вектор единичный, знаменатель в правой части основной формулы равен 1. Рассмотрим нормальные сечения в двух главных направлениях (с координатами (1,0) и (0,1)). Мы получим: k1 = a и k2 = b, где через k1 и k2 обозначены нормальные кривизны в этих направлениях.
Подставляя эти значения в предыдущую формулу, мы получим выражение нормальной кривизны произвольного направления через нормальные кривизны двух главных направлений: kn = k1 cos2 ϕ + k2 sin2 ϕ.
Эта формула называется формулой Эйлера. Нормальные кривизны главных направлений называются главными кривизнами.
Будем поворачивать нормальную плоскость вокруг нормали к поверхности в точке A. Кривизна нормального сечения будет циклически меняться.
Утверждение. Кривизна нормального сечения монотонно возрастает от меньшей главной кривизны к большей и затем обратно два раза за полный оборот.
Доказательство. Перепишем нашу формулу: kn = k1 cos2 ϕ + k2 sin2 ϕ = k1 cos2 ϕ + k2 − k2 cos2 ϕ = (k1 − k2) cos2 ϕ + k2.
Поскольку cos^2 ϕ меняется от 0 до 1, то если k1 > k2, максимальным значением нормальной кри- визны является k1, а k2 минимальное значение, и наоборот, если k2 > k1. Таким образом, главные кривизны служат экстремальными значениями нормальной кривизны. (Главные направления, очевидно являются главными осями индикатрисы) Классификация точек поверхности. По соотношению между главными кривизнами мы получаем следующие типы точек:
1. Если k1 = k2, точка поверхности называется сферической (или омбилической); в этом случае все нормальные кривизны равны между собой.
2. Если обе главные кривизны отличны от нуля и одного знака, точка называется эллиптической; в этом случае поверхность выпукла в точке, т.е. малая окрестность точки лежит по одну сторону от касательной плоскости.
3. Если обе главные кривизны отличны от нуля и имеют противоположные знаки, то точка называется гиперболической; в этом случае при вращении нормальной плоскости вокруг нормали сечение в окрестности точки переходит с одной стороны касательной плоскости на другую. Можно доказать, что пересечение поверхности и касательной плоскости сотоит из двух гладких дуг, пересекающихся под ненулевым углом.
4. Если одна из главных кривизн равна нулю, а другая отлична от нуля, то точка называется параболической; в этом случае одна из главных кривизн равна нулю. Если другая отлична от нуля, то из формулы Эйлера следует, что нормальные кривизны всех направлений, кроме второго главного отличны от нуля и имеют один и тот же знак. Но нормальное сечение с нулевой кривизной может иметь в точке сложное поведение.
5. Если обе главные кривизны равны нулю, точка называется точкой уплощения. В этом случае вторая квадратичная форма равна нулю, а отклонение поверхности от касательной плоскости имеет третий порядок малости. Возможно сложное поведение поверхности вблизи этой точки.
8.1 Значение полной кривизны. Локальный анализ формы поверхности Полная кривизна и теорема Гаусса. Основная теорема теории поверхностей, теорема Гаусса, которую мы докажем в следующей главе, состоит в том, что полная кривизна имеет выражение через первую квадратичную форму, т.е. через ее коэффициенты и их производные. Из приведенного выше выражения видно, что для этого нам предстоит выразить через коэффициенты E, F, G первой формы определитель второй формы. На самом деле теорему Гаусса можно доказывать, идя разными

Результаты (украинский) 1:

4.7 основні кривизни та формула Ейлера.Основні напрямки. Виправити точки на поверхні М і звернутися до тангенс площині τ (A) в цій точці. Цій основі лінійних простору двовимірної вказаного ru, rv і дано два квадратичних форм. Одна з них має певні позитивні Симетрична матриця G а заходить метрична τ A-скаляр добуток векторів за формулою (у вказаному базової лінії). Іншою формою є Симетрична матриця B (не обов'язково nevyroždennuû) і написана на тих же засадах Эта ситуация известна из курса высшей алгебры. Основная теорема тут утверждает, что возможно сделать (линейную) замену переменных в τ A, которая обе матрицы приведет к диагональному виду. При этом матрица G перейдет в единичную, что означает, что новый базис является ортонормированным. Обозначим новый базис m1, m2, а координаты вектора u в этом базисе u¯ 1 , u¯ 2 . Таким образом квадрат нормы вектора u примет “пифагоров” вид (¯u 1 )^2+(¯u 2 ) ^2 , а скалярное произведение – u¯ 1v¯ 1+ ¯u 2v¯2 . Вторая квадратичная форма будет в этом базисе иметь вид II(u) = a(¯u 1 ) + b(¯u 2 ) 2 . Наша задача: установить смысл коэффициентов a и b. Обратим внимание, что замена переменных была произведена в векторном касательном пространстве, она не индуцирована сменой карты в окрестности точки A. Это можно сделать, но такая замена приведет формы к диагональному виду только в точке A. Поэтому нам нет смысла обращаться к замене карты, мы действуем прямо в касательной плоскости. Упражнение. Постройте замену локальных координат в окрестности точки A, которая индуцирует в τ A заданное линейное преобразование L (т.е. дифференциал замены в точке A есть L).
Напомним, что базисные векторы m1, m2 новой координатной системы в τ A являются собственными векторами матрицы B, а числа a и b – соответствующими собственными значениями.
Определение. Направления векторов m1, m2 называются главными направлениями в касательной плоскости τ A.
Рассмотрим теперь произвольное направление в τ A, определяемое единичным вектором m. Поскольку система координат сейчас ортонормированная, координаты этого вектора равны cosϕ, sin ϕ, где ϕ угол между m1 и m. По основной формуле kn = II(m) I(m) мы получаем: kn = a cos2 ϕ + b sin2 ϕ.
Здесь kn кривизна нормального сечения в направлении вектора m. Так как этот вектор единичный, знаменатель в правой части основной формулы равен 1. Рассмотрим нормальные сечения в двух главных направлениях (с координатами (1,0) и (0,1)). Мы получим: k1 = a и k2 = b, где через k1 и k2 обозначены нормальные кривизны в этих направлениях.
Подставляя эти значения в предыдущую формулу, мы получим выражение нормальной кривизны произвольного направления через нормальные кривизны двух главных направлений: kn = k1 cos2 ϕ + k2 sin2 ϕ.
Эта формула называется формулой Эйлера. Нормальные кривизны главных направлений называются главными кривизнами.
Будем поворачивать нормальную плоскость вокруг нормали к поверхности в точке A. Кривизна нормального сечения будет циклически меняться.
Утверждение. Кривизна нормального сечения монотонно возрастает от меньшей главной кривизны к большей и затем обратно два раза за полный оборот.
Доказательство. Перепишем нашу формулу: kn = k1 cos2 ϕ + k2 sin2 ϕ = k1 cos2 ϕ + k2 − k2 cos2 ϕ = (k1 − k2) cos2 ϕ + k2.
Поскольку cos^2 ϕ меняется от 0 до 1, то если k1 > k2, максимальным значением нормальной кри- визны является k1, а k2 минимальное значение, и наоборот, если k2 > k1. Таким образом, главные кривизны служат экстремальными значениями нормальной кривизны. (Главные направления, очевидно являются главными осями индикатрисы) Классификация точек поверхности. По соотношению между главными кривизнами мы получаем следующие типы точек:
1. Если k1 = k2, точка поверхности называется сферической (или омбилической); в этом случае все нормальные кривизны равны между собой.
2. Если обе главные кривизны отличны от нуля и одного знака, точка называется эллиптической; в этом случае поверхность выпукла в точке, т.е. малая окрестность точки лежит по одну сторону от касательной плоскости.
3. Если обе главные кривизны отличны от нуля и имеют противоположные знаки, то точка называется гиперболической; в этом случае при вращении нормальной плоскости вокруг нормали сечение в окрестности точки переходит с одной стороны касательной плоскости на другую. Можно доказать, что пересечение поверхности и касательной плоскости сотоит из двух гладких дуг, пересекающихся под ненулевым углом.
4. Если одна из главных кривизн равна нулю, а другая отлична от нуля, то точка называется параболической; в этом случае одна из главных кривизн равна нулю. Если другая отлична от нуля, то из формулы Эйлера следует, что нормальные кривизны всех направлений, кроме второго главного отличны от нуля и имеют один и тот же знак. Но нормальное сечение с нулевой кривизной может иметь в точке сложное поведение.
5. Если обе главные кривизны равны нулю, точка называется точкой уплощения. В этом случае вторая квадратичная форма равна нулю, а отклонение поверхности от касательной плоскости имеет третий порядок малости. Возможно сложное поведение поверхности вблизи этой точки.
8.1 Значение полной кривизны. Локальный анализ формы поверхности Полная кривизна и теорема Гаусса. Основная теорема теории поверхностей, теорема Гаусса, которую мы докажем в следующей главе, состоит в том, что полная кривизна имеет выражение через первую квадратичную форму, т.е. через ее коэффициенты и их производные. Из приведенного выше выражения видно, что для этого нам предстоит выразить через коэффициенты E, F, G первой формы определитель второй формы. На самом деле теорему Гаусса можно доказывать, идя разными

Результаты (украинский) 2:

7.6 Головні кривизни і формула Ейлера.
Головні напрямки. Фіксуємо точку A на поверхні M і звернемося до дотичної площини τ A в цій точці. У цьому лінійному двовимірному просторі заданий базис ru, rv і дано дві квадратичні форми. Одна з них має позитивно певну симетричну матрицю G і задає метрику в τ A - скалярний добуток векторів за формулою (у зазначеному базисі). Інша форма має симетричну матрицю B (не обов'язково невироджених) і записується в цьому ж базисі у вигляді Ця ситуація відома з курсу вищої алгебри. Основна теорема тут стверджує, що можливо зробити (лінійну) заміну змінних в τ A, яка обидві матриці призведе до діагонального вигляду. При цьому матриця G перейде в одиничну, що означає, що новий базис є ортонормованим. Позначимо новий базис m1, m2, а координати вектора u в цьому базисі u¯ 1, u¯ 2. Таким чином квадрат норми вектора u прийме "пифагоров" вигляд (¯u 1) ^ 2 + (¯u 2) ^ 2, а скалярний добуток - u¯ 1v¯ 1+ ¯u 2v¯2. Друга квадратична форма буде в цьому базисі мати вигляд II (u) = a (¯u 1) + b (¯u 2) 2. Наше завдання: встановити сенс коефіцієнтів a і b. Звернемо увагу, що заміна змінних була проведена у векторному дотичному просторі, вона не індукована зміною карти в околиці точки A. Це можна зробити, але така заміна призведе форми до діагонального вигляду тільки в точці A. Тому нам немає сенсу звертатися до заміни карти, ми діємо прямо в дотичній площині. Вправа. Побудуйте заміну локальних координат в околиці точки A, яка індукує в τ A задане лінійне перетворення L (тобто диференціал заміни в точці A є L). Нагадаємо, що базисні вектори m1, m2 нової координатної системи в τ A є власними векторами матриці B, а числа a і b - відповідними власними значеннями. Визначення. Напрями векторів m1, m2 називаються головними напрямками в дотичній площині τ A. Розглянемо тепер довільний напрямок в τ A, яке визначається одиничним вектором m. Оскільки система координат зараз ортонормированном, координати цього вектора дорівнюють cosφ, sin φ, де φ кут між m1 і m. За основною формулою kn = II (m) I (m) ми отримуємо: kn = a cos2 φ + b sin2 φ. Тут kn кривизна нормального перетину в напрямку вектора m. Так як цей вектор одиничний, знаменник у правій частині основної формули дорівнює 1. Розглянемо нормальні перерізу в двох головних напрямках (з координатами (1,0) і (0,1)). Ми отримаємо: k1 = a і k2 = b, де через k1 і k2 позначені нормальні кривизни в цих напрямках. Підставляючи ці значення в попередню формулу, ми отримаємо вираз нормальної кривизни довільного напрямку через нормальні кривизни двох головних напрямків: kn = k1 cos2 φ + k2 sin2 φ. Ця формула називається формулою Ейлера. Нормальні кривизни головних напрямків називаються головними кривизнами. Будемо повертати нормальну площину навколо нормалі до поверхні в точці A. Кривизна нормального перетину буде циклічно змінюватися. Затвердження. Кривизна нормального перетину монотонно зростає від меншої головною кривизни до більшої і потім назад два рази за повний оборот. Доказ. Перепишемо нашу формулу: kn = k1 cos2 φ + k2 sin2 φ = k1 cos2 φ + k2 - k2 cos2 φ = (k1 - k2) cos2 φ + k2. Оскільки cos ^ 2 φ змінюється від 0 до 1, то якщо k1> k2 , максимальним значенням нормальної кри- Візна є k1, а k2 мінімальне значення, і навпаки, якщо k2> k1. Таким чином, головні кривизни служать екстремальними значеннями нормальної кривизни. (Головні напрямки, очевидно є головними осями індикатриси) Класифікація точок поверхні. За співвідношенням між головними кривизнами ми отримуємо наступні типи точок: 1. Якщо k1 = k2, точка поверхні називається сферичною (або омбіліческой); в цьому випадку всі нормальні кривизни рівні між собою. 2. Якщо обидві головні кривизни відмінні від нуля й одного знака, точка називається еліптичної; в цьому випадку поверхня опукла в точці, тобто мала околиця точки лежить по одну сторону від дотичної площини. 3. Якщо обидві головні кривизни відмінні від нуля і мають протилежні знаки, то точка називається гіперболічної; в цьому випадку при обертанні нормальної площині навколо нормалі перетин в околиці точки переходить з одного боку дотичної площини на іншу. Можна довести, що перетин поверхні і дотичної площини Сото з ​​двох гладких дуг, що перетинаються під ненульовим кутом. 4. Якщо одна з головних кривизн дорівнює нулю, а інша відмінна від нуля, то точка називається параболічної; в цьому випадку одна з головних кривизн дорівнює нулю. Якщо інша відмінна від нуля, то з формули Ейлера випливає, що нормальні кривизни всіх напрямків, крім другого головного відмінні від нуля і мають один і той же знак. Але нормальний переріз з нульовою кривизною може мати в точці складну поведінку. 5. Якщо обидві головні кривизни дорівнюють нулю, точка називається точкою уплощения. У цьому випадку друга квадратична форма дорівнює нулю, а відхилення поверхні від дотичної площини має третій порядок малості. Можливо складну поведінку поверхні поблизу цієї точки. 8.1 Значення повної кривизни. Локальний аналіз форми поверхні Повна кривизна і теорема Гаусса. Основна теорема теорії поверхонь, теорема Гаусса, яку ми доведемо в наступному розділі, полягає в тому, що повна кривизна має вираз через першу квадратичну форму, тобто через її коефіцієнти та їх похідні. З наведеного вище виразу видно, що для цього нам належить виразити через коефіцієнти E, F, G першої форми визначник другої форми. Насправді теорему Гаусса можна доводити, йдучи різними

Результаты (украинский) 3:

Головна 7.6 кривизну формули і Eulerian моделі.
основні напрями. Закріплення в точці на поверхні м і перейде до Дотична площина з горбок на даний момент. У разі лінійних двомірна простору в основі ru,Rv і дав два квадратичні форми. Одна з них - це позитивно симетрії матриця г і встановлює метричних в наштовхує на крапки продукт векторів на формулу (з метою титри).